#WiskundePlantyn

Het duiventilprincipe

Stel dat er een feestje is waarbij n personen zijn uitgenodigd. Wanneer ze elkaar ontmoeten, worden er handen geschud. Aangezien niet iedereen mekaar kent of omdat sommige mensen niet met elkaar overweg kunnen, is het niet zo dat iedereen een hand krijgt van alle andere aanwezigen. We nemen wel aan dat elke persoon minstens één andere aanwezige de hand schudt.

a) Kan het zijn dat elke persoon een verschillend aantal handen gaf/kreeg?
b) Hoeveel handen zouden er geschud zijn indien iedereen elkaar wél begroet?

---------------------

a) Indien dit kan, dan is er één persoon die 1 hand gaf, één persoon die 2 handen gaf, één die 3 handen gaf, enzovoort tot één die het maximaal aantal (n-1) handen schudde. Wanneer je n handen schudt, zou dat willen zeggen dat je ook jezelf een hand zou geven, wat uiteraard niet gebeurt. Er zijn dus (n-1) verschillende aantallen mogelijk. 
Stel je voor dat er ook (n-1) stoelen aanwezig zijn op het feest. Je zet de persoon die slechts 1 hand kreeg op stoel 1, de persoon die twee handen kreeg/gaf, verwijs je naar stoel 2, enzovoort tot je de persoon die het maximum van (n-1) handen schudde op stoel (n-1) plaatst. Dan heb je nog maar n-1 personen een plaats gegeven… 
De n-de persoon heeft natuurlijk ook 1, 2, 3… of n-1 handen geschud. Maar als je hem naar zijn juiste stoel wil sturen zal deze altijd al bezet zijn. 
Er zullen dus altijd 2 genodigden zijn die aan een gelijk aantal personen een hand kregen.

Dit noemen we het duiventilprincipe, vanwege een soortgelijk voorbeeld waar we n duiven in n-1 duivenhokjes willen plaatsen. Er zal dan altijd 1 hok zijn waarin we 2 duiven moeten plaatsen. 
 

b) Stel dat iedereen één na één de feestzaal betreedt en elke reeds aanwezige begroet. De eerste die aanwezig is hoeft niemand een hand te geven (# gegeven handen = 0).
Als persoon 2 binnenwandelt geeft deze de eerste een hand (# gegeven handen is nu 0+1).
Als persoon 3 binnenkomt geeft die de eerste 2 een hand (# gegeven handen is nu 0+1+2).
Als persoon 4 binnenkomt geeft die de eerste 3 een hand ((# gegeven handen is nu 0+1+2+3).
Enzovoort.

Wanneer de laatste of dus n-de persoon aankomt, geeft die de vorige n-1 mensen een hand. In totaal werden er dus 1+2+3+⋯+(n-1)=((n-1)×n)/2 handen geschud.

Meer weetjes?

Deel dit artikel

Reageer op dit artikel
(bekijk de commentaren)