#WiskundePlantyn

#UNTAGGABLE

#YOLO, #wiskunde, #tijdvoorvakantie … Je hebt ongetwijfeld je leerlingen die tags al zien gebruiken op social media. Vanwege die populariteit onder jongeren en jongvolwassenen gebruiken reclamebureaus ook maar al te graag hashtags om hun product een jeugdig imago te geven. Zoals bij de reclame van een Duits automerk. Dat gaf zijn wagen de tag ‘#UNTAGGABLE’. Maar dat spreekt zichzelf dus eigenlijk tegen, want de ontagbare auto draagt nu wel mooi een tag …

In de wiskunde is er een soortgelijke tegenspraak, die we de paradox van Russell noemen. De paradox speelt zich af in de verzamelingenleer. Meer bepaald bij verzamelingen waarvan de elementen zelf ook verzamelingen zijn.

Bijvoorbeeld: A1 is de verzameling van alle verzamelingen V die maar één element bevatten. Of Ax is de verzameling van alle verzamelingen V die x elementen hebben.

Het schoentje wringt wanneer we bijvoorbeeld volgende verzameling AP willen definiëren:

Wat als je jezelf nu afvraagt of AP een element is van zichzelf? Als ‘NEE’ het antwoord zou zijn, dan voldoet de verzameling AP aan de definitie en hoort ze dus wel bij zichzelf … TEGENSTRIJDIG.
Als je volmondig ‘JA’ zou antwoorden en dus zegt dat AP zichzelf bevat, dan kan ze volgens de definitie geen element zijn van AP … TEGENSTRIJDIG.

Deze leuke denkoefening lijkt onschuldig, maar toonde wel een groot gebrek van de verzamelingenleer zoals die begin vorige eeuw bestond. Het probleem bleek zelfs zo groot en fundamenteel dat de beginselen van de hele verzamelingentheorie aangepast moesten worden. Nadat Bertrand Russell, naar wie de paradox genoemd werd, zijn bevindingen bekendmaakte, werd bijvoorbeeld het volgende axioma verworpen: ‘Voor elke eigenschap A bestaat de verzameling van alle dingen met eigenschap A.’

Deel dit artikel

Reageer op dit artikel
(bekijk de commentaren)