#WiskundePlantyn

Tien opeenvolgende natuurlijke getallen - 3e graad aso/tso

Toon aan dat elke verzameling van tien opeenvolgende natuurlijke getallen een getal bevat dat onderling ondeelbaar is met de negen andere getallen.
Oplossing

  • Als de tien getallen een priemgetal bevatten, dan lijkt het logisch. Maar als je een reeks getallen neemt zonder priemgetal, dan wordt het moeilijker.
  • Noem die tien getallen: a_1,…,a_10.
  • Stel dat twee van die getallen, a_i en a_j, toch een gemeenschappelijke deler zouden hebben, dan bestaat er een natuurlijk getal d dat a_i en a_j deelt en dus ook hun verschil a_i-a_j. Maar a_i-a_j<10, dus zal d = 2 of 3 of 5 of 7.
  • Je kunt dus het best zoeken naar een getal dat niet deelbaar is door 2 of 3 of 5 of 7.
  • Omdat je tien opeenvolgende getallen genomen hebt, zal er zeker één bij zijn dat eindigt op 1, één dat eindigt op 3, één dat eindigt op 7 en één dat eindigt op 9.
  • Noteer die als a = xx1, b = xx3, c = xx7 en k = xx9.
  • Geen van de getallen a, b, c of k zijn deelbaar door 2 of 5.
  • Hoogstens één ervan is deelbaar door 7.
  • Hoogstens twee ervan zijn deelbaar door 3.
  • Dus blijft er zeker één getal over dat niet deelbaar is door 2 of 3 of 5 of 7.
  • Neem dat getal.
  • Neem bijvoorbeeld de tien getallen uit de titel. De vier mogelijkheden zijn 41, 43, 37 en 39. Enkel 39 is deelbaar door 2, 3, 5 of 7. De andere getallen zijn alle drie goede oplossingen.
     
Deel dit artikel

Reageer op dit artikel
(bekijk de commentaren)