#WiskundePlantyn

Som der cijfers - 2e & 3e graad aso/tso

Definiëren we voor een natuurlijk getal n de waarde s(n) als de som van de cijfers van n. Zo is  bijvoorbeeld s(15) = 1 + 5 = 6. Voor welke waarde van n bestaan er natuurlijke getallen a en b
waarvoor s(a) = s(b) = s(a + b) = n?
Oplossing

  • Bij het nemen van de som der cijfers denken we bewust of onbewust aan deling door 3 of 9. Een getal laat bij deling door 9 dezelfde rest na als de som der cijfers bij deling door 9. We nemen bijvoorbeeld 150. Nu is 150 = 9 . 16 + 6, dus de rest bij deling van 150 door 9 is 6. De som der cijfers van 150 is 6 en dat is ook de rest bij deling door 9.
  • Dus voor elk natuurlijk getal x geldt x ≡ s(x) mod 9.
  • Uit de opgave volgt dus dat a ≡ b ≡ a + b ≡ n mod 9. Maar dan moet b ≡ 0 mod 9 en dus ook n ≡ 0 mod 9. Met andere woorden: n moet een negenvoud zijn.
  • Maar is elk negenvoud ook een goede oplossing? Kun je voor elk negenvoud wel degelijk een a en b vinden waarvoor s(a) = s(b) = s(a + b) = n?
  • We veronderstellen dat n = 9k. We construeren dan a = b = 99…9 (een getal gevormd met k negens).
  • Dan is s(a) = s(b) = 9 + 9 + … + 9 = 9k = n.
  • Maar dan is a + b = 19…98 en s(a + b) = 1 + (k - 1)9 + 8 = 9k = n. Met andere woorden: s(a) = s(b) = s(a + b) = n.
  • Dus elk veelvoud van 9 voldoet.
     
Deel dit artikel

Reageer op dit artikel
(bekijk de commentaren)