#WiskundePlantyn

Wiskunde in de Simpsons (9): over groot, groter, grootst

De Simpsons is niet alleen ’s werelds meest iconische animatieserie, maar barst ook van wiskundige finessen. Tot de schrijvers behoren Stewart Burns (master in wiskunde), David X Cohen (master in informatica), Ken Keeler (PhD in toegepaste wiskunde) en Jeff Westbrook (PhD in informatica), allen wiskundegeeks die het niet kunnen laten de Simpsons vol te proppen met al dan niet verborgen wiskundige concepten, grappen en puzzels. Elke maand lichten we in deze column zo’n wiskundig onderwerp nader toe vanuit de Simpsons.

Googol en googolplex

In Colonel Homer (seizoen 3, aflevering 20) bezoekt de familie Simpson voor het eerst de lokale multiplexbioscoop, waarvan de naam heel even te zien is: de Springfield Googolplex Theatres. Deze freeze-frame gag is een verwijzing naar het getal googolplex, zo gigantisch groot dat men graag beweert dat het gehele heelal niet voldoende ruimte biedt om het getal in decimale vorm voluit te schrijven.

Het verhaal gaat dat wiskundige Edward Kasner in 1920 een groot getal verzon om het stoffige imago van de wiskunde bij kinderen op te poetsen en om hun intuïtie te prikkelen. Concreet dacht hij aan het getal 10^100, een 1 gevolgd door 100 nullen. Tijdens een wandeling met zijn neefje Milton Sirotta, toen amper negen jaar oud, bediscussieerde Kasner zijn getal. Milton zag al snel in dat 10^100 weliswaar heel groot, maar nog steeds eindig is, en vond dat het daarom ook een eigen naam verdiende. Hij stelde de naam googol voor. Terzelfdertijd bedacht Milton een naam voor een nog groter getal, googolplex, en suggereerde om dit getal te definiëren als “een 1 met zoveel nullen achter als tot je te moe wordt om nog verder te schrijven”. Kasner ging voor de objectieve definitie 10^(10^100), een 1 gevolgd door googol nullen.

Vandaag zijn deze termen welbekend bij het brede publiek, doordat Larry Page en Sergey Brin de naam googol overnamen voor hun zoekmachine. Zij verkozen echter een veelvoorkomende variant als naam. Het bedrijf heet vandaag dan ook Google Inc., en hun hoofdkwartier het Googleplex.

Nog groter

Sinds googolplex is het een soort kunst of sport geworden om steeds grotere getallen zo compact mogelijk te definiëren. Sommige van deze monsterlijke getallen hebben geen verdere betekenis, anderen duiken op in een wiskundige context. Hieronder enkele interessante voorbeelden:

  • Het getal van Graham: Ronald Graham werkte op de volgende ogenschijnlijk onschuldige puzzel: wat is de kleinste waarde n zodat een n-dimensionale hyperkubus waarin we alle hoekpunten met een rode of blauwe lijn verbinden, gegarandeerd vier punten in eenzelfde vlak liggen heeft zodat alle lijnen ertussen van hetzelfde kleur zijn? Het bleek niet zo moeilijk om in te zien dat er wel degelijk een kleinste waarde n moet bestaan, en in lage dimensies zijn tegenvoorbeelden vrij snel te vinden. Graham bewees echter een bovengrens, zo onvoorstelbaar groot dat deze een plaats in het Guinness Book of Records verdiende als het grootste getal ooit gebruikt in een serieus wiskundig bewijs. Om het getal van Graham te beschrijven, zijn er zelfs aangepaste notaties nodig zoals de pijlomhoognotatie van Knuth of ketennotatie van Conway.
  • De bezige bever: In de berekenbaarheidstheorie spelen Turingmachines, abstracte computermodellen voorgesteld door en vernoemd naar Alan Turing, een centrale rol. Als we enkel Turingmachines beschouwen met n werktoestanden en met een binair alfabet, kunnen we die machine eruit pikken die de langste output genereert, die we dan de bezige bever voor deze waarde n noemen. De maximale outputlengte blijkt een enorm sterk stijgende functie van n, die zelfs sneller toeneemt dan eender welke berekenbare functie (dit betekent eveneens dat de functie zelf niet berekenbaar is). De precieze waarden zijn maar gekend voor n < 5, maar men weet bijvoorbeeld al dat 1018267 een ondergrens vormt voor n = 6.
  • De Ackermannfunctie: Deze functie was een van de eerste voorbeelden van een berekenbare functie die niet primitief recursief is. Er zijn wat variaties in de omloop, maar de bekendste definitie is de volgende:

A(0, n) = n + 1;
A(m, 0) = A(m – 1, 1) voor m > 0;
A(m, n) = A(m – 1, A(m, n – 1)) voor m, n > 0.
Voor kleine waarden m blijft deze functie nog vrij braaf, maar vanaf m = 4 ontploft deze algauw tot gigantische waarden. Zo blijkt A(4, 3) al gelijk aan 2^(2^65536) – 3.

Voor de fun zijn nog veel grotere getallen gedefinieerd; zoek bijvoorbeeld maar eens op het getal van Moser, de TREE-functie van Friedman, of het getal van Rayo.

 

Deel dit artikel

Reageer op dit artikel
(bekijk de commentaren)