#WiskundePlantyn

Wiskunde in de Simpsons (6): over recreatieve puzzels

Wat maakt de getallen 8191, 8128 en 8208 zo bijzonder?

De Simpsons is niet alleen ’s werelds meest iconische animatieserie, maar barst ook van wiskundige finessen. Tot de schrijvers behoren Stewart Burns (master in wiskunde), David X Cohen (master in informatica), Ken Keeler (PhD in toegepaste wiskunde) en Jeff Westbrook (PhD in informatica), allen wiskundegeeks die het niet kunnen laten de Simpsons vol te proppen met al dan niet verborgen wiskundige concepten, grappen en puzzels. Elke maand lichten we in deze column zo’n wiskundig onderwerp nader toe vanuit de Simpsons

Enkele bijzondere getallen

Marge and Homer Turn a Couple Play (seizoen 17, aflevering 22) vertelt over de relatieproblemen tussen honkman Buck Mitchell en popzangeres Tabitha Vixx, die door Homer onbedoeld nog meer uit de hand lopen. Tijdens een honkbalwedstrijd zegt Tabitha voor een volle tribune enkel terug te willen keren naar Buck als hij kan raden hoeveel aanwezigen de wedstrijd bijwonen: 8191, 8128 of 8208 bezoekers? Op het eerste zicht lijken dit willekeurige getallen, maar niets is minder waar: achter elk ervan schuilt een wiskundig aardigheidje.

A) 8191

Het eerste getal, 8191, is een priemgetal met een bijzondere vorm: 8191 = 213 – 1. Een getal van deze vorm (2n – 1) heet een Mersennegetal, genoemd naar de Franse monnik Marin Mersenne. Omwille van deze speciale vorm bestaan er speciale testen die nagaan of Mersennegetallen priem zijn, die veel grotere getallen aankunnen dan klasssieke testen. In feite zijn de tien thans grootst gekende priemgetallen allemaal Mersennepriemgetallen! Deze bijzondere getallen keren in allerlei contexten terug: zo zijn de Torens van Hanoi met n schijven steeds oplosbaar in 2n – 1 zetten en niet minder.

B) 8128

Het tweede getal, 8128, is een perfect getal. Deze voldoen aan de zeldzame eigenschap dat de som van hun strikte delers gelijk is aan het getal zelf. Inderdaad, de delers van 8128 (8128 zelf uitgezonderd) zijn 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032 en 4064, en deze sommeren opnieuw tot 8128. Opmerkelijk genoeg is er een sterk verband tussen perfecte getallen en Mersennepriemgetallen! Euclides heeft bewezen dat 2p−1(2p − 1) een perfect getal is voor p’s waarvoor 2p – 1 priem is. Omgekeerd bewees Euler zo’n twee millennia later dat elk even perfect getal van deze vorm is! Het is nog onbewezen of er oneindig veel perfecte getallen of Mersennepriemgetallen bestaan. Bovendien weet men nog niet of er ook oneven perfecte getallen bestaan!

C) 8208

Het laatste getal in de lijst, 8208, is een narcistisch getal: een getal van n cijfers, dat gelijk is aan de som van zijn cijfers verheven tot de nde macht. Inderdaad: 8208 = 84 + 24 + 04 + 84. De enige twee andere narcistische getallen met vier cijfers zijn 1634 en 9474; in totaal bestaan er slechts 88 narcistische getallen in grondtal 10!

Deel dit artikel

Reageer op dit artikel
(bekijk de commentaren)