#WiskundePlantyn

Wiskunde in de Simpsons (4): over vallende balletjes

De Simpsons is niet alleen ’s werelds meest iconische animatieserie, maar barst ook van wiskundige finessen. Tot de schrijvers behoren Stewart Burns (master in wiskunde), David X Cohen (master in informatica), Ken Keeler (PhD in toegepaste wiskunde) en Jeff Westbrook (PhD ininformatica), allen wiskundegeeks die het niet kunnen laten de Simpsons vol te proppen met al dan niet verborgen wiskundige concepten, grappen en puzzels. Elke maand lichten we in deze column zo’n wiskundig onderwerp nader toe vanuit de Simpsons.

Kansrekenen
Om de kinderen van de tv weg te houden, besluit Marge in The Saga of Carl (seizoen 24, aflevering 21) een uitstap te maken naar een wetenschappelijk museum waar net een exhibitie over kansrekening te bezoeken valt. Daar zien de Simpsons een demonstratie van het Galtonbord in actie. Homer wordt er bovendien gefascineerd door een video waarin niemand minder dan Blaise Pascal, pionier van de waarschijnlijkheidsrekening, de lotto afraadt: “You are more likely to be run over by a car, or be hit by lightning, or murdered by an acquaintance. If you understood probability, you would never play the lottery.” Diezelfde week nog bewijzen ze dat kansen ook maar kansen zijn door $ 200.000 te winnen met de loterij.

Het Galtonbord
Het bord van Galton werd genoemd naar zijn ontdekker Francis Galton en staat ook bekend als de quincunx. Het toestel bestaat uit een verticaal opgesteld bord waarin pinnen zijn geslagen, met bovenaan een trechter met balletjes en onderaan enkele verzamelbakjes van één balletje breed. De balletjes stuiteren op de pinnen naar beneden en belanden uiteindelijk in de bakjes.

Een eenvoudige oefening combinatoriek: hoeveel paden kan een balletje in het toestel volgen om op een bepaalde pin te vallen? Voor de bovenste pin is er duidelijk maar één pad. Voor de twee pinnen eronder eveneens. Op de derde rij loopt het anders: de buitenste pinnen kunnen slechts via één pad bereikt worden, de middelste pin via twee paden (links-rechts en rechts-links).
Algemeen kunnen we het aantal paden naar een bepaalde pin tellen als de som van de paden naar de twee pinnen erboven. Dit resulteert dus precies in de welbekende driehoek van Pascal.
Uit deze telling kan de kans worden berekend dat een balletje in een bepaald vakje valt. Wanneer de quincunx n bakjes heeft en de kans dat een balletje op een pin naar rechts valt gelijk is aan p, volgt deze kans een binomiaalverdeling met parameters n en p.

Het experiment van Galton met voldoende balletjes uitvoeren op een eerlijk bord (p=0.5) visualiseert duidelijk dat de verdeling symmetrisch is en er veel meer balletjes terechtkomen in de centrale bakken dan aan de rand. Bovendien, wanneer n voldoende groot is, zal er blijken dat de uiteindelijke hoogte van de balletjes in de bakken een normaalverdeling benadert!

Het Galtonbord is dus een goede illustratie van de centrale limietstelling, die onder milde assumpties het opduiken van normaalverdelingen verklaart. In deze toepassing stelt ze dat de binomiaalverdeling met parameters n en p bij benadering een normaalverdeling volgt, met parameters np (het gemiddelde van de binomiaalverdeling) en np(1-p) (de variantie van de binomiaalverdeling).

Op internet zijn er tal van applets te vinden, zoals deze.

Deel dit artikel

Reageer op dit artikel
(bekijk de commentaren)