#WiskundePlantyn

Wiskunde in de Simpsons (3): over rubberen meetkunde

De Simpsons is niet alleen ’s werelds meest iconische animatieserie, maar barst ook van wiskundige finessen. Tot de schrijvers behoren Stewart Burns (master in wiskunde), David X Cohen (master in informatica), Ken Keeler (PhD in toegepaste wiskunde) en Jeff Westbrook (PhD in informatica), allen wiskundegeeks die het niet kunnen laten de Simpsons vol te proppen met al dan niet verborgen wiskundige concepten, grappen en puzzels. Elke maand lichten we in deze column zo’n wiskundig onderwerp nader toe vanuit de Simpsons.

Het bord van Homer

We keren even terug naar het schoolbord uit The Wizard of Evergreen Terrace (seizoen 10, aflevering 2), waar we onder andere een bijna-tegenvoorbeeld voor de laatste stelling van Fermat zagen. Het bewuste bord bevat ook een fictieve formule die de massa van het Higgsboson voorspelt, in functie van enkele fundamentele fysische constanten (14 jaar vooraleer het deeltje effectief werd ontdekt), en een ongelijkheid die uitdrukt dat de kosmos zal imploderen onder haar eigen gewicht. We richten ons oog echter op de onderste lijn op het bord, die een verwijzing geeft naar een volledige andere tak van de wiskunde: de topologie, ook wel bekend als de studie der rubberen lichamen.

Topologie

Officieel onderzoekt topologie de eigenschappen van vormen en ruimte die bewaard blijven onder continue transformaties. Informeel gezegd mogen topologische objecten worden uitgerekt of gebogen, maar niet gescheurd of aan elkaar geplakt. Figuren die zo in elkaar kunnen worden omgezet, noemen we topologisch equivalent of homeomorf (van het Griekse ὅμοιος, dezelfde en μορφή, vorm). De transformatie zelf noem je een homeomorfisme. Zo zijn de letters O, Q en P equivalent, maar O en S niet: het ‘gat’ in de letter O kan nooit worden weggewerkt door de spelregels van de topologie.
Homer zou Homer niet zijn mocht hij niet zondigen tegen deze regels. Op zijn bord probeert hij een torus (een donutvorm) te transformeren naar een sfeer, door er stukjes af te knabbelen. Dit is echter geen continue transformatie en dus is Homers poging ongeldig. Misschien is de correcte term voor zo’n transformatie geen homeomorfisme maar een Homermorfisme!

Enkele topologische puzzels

De topologie heeft heel wat verrassingen in petto. Een beroemd voorbeeld is de Möbiusband: een topologisch oppervlak met slechts één zijde en één rand. Deze valt eenvoudig zelf te maken door de uiteinden van een strook papier aan elkaar te kleven maar één halve slag gedraaid. Probeer maar eens zo’n band in de lengte doormidden te knippen, het resultaat is onverwacht!
Nog iets leuks om te proberen: een doorprikte torus (met een gat erin) kan via dit gat binnenstebuiten worden gekeerd. Het resultaat is opnieuw een doorprikte torus. Dit valt heel aardig te demonstreren met een broek waarvan de broekspijpen aan elkaar zijn genaaid; de taille dient hierbij als het gat.
Een minder bekend voorbeeld is de volgende puzzel. Beschouw een paar topologische handboeien: twee ringen, in elkaar gehaakt en met elkaar verbonden. Kun je deze ringen uit elkaar halen zonder ze door te knippen of te scheuren? Het lijkt onmogelijk, tot je de oplossing ziet:

Een soortgelijke puzzel start met zo’n koppel handboeien die aan een derde ring geketend zitten, en vraagt om één van de handboeien los te maken.

 

Deel dit artikel

Reageer op dit artikel
(bekijk de commentaren)