#WiskundePlantyn

Wiskunde in de Simpsons (2): over een te kleine marge

De Simpsons is niet alleen ’s werelds meest iconische animatieserie maar barst ook van wiskundige finessen. Tot de schrijvers behoren Stewart Burns (master in wiskunde), David X Cohen (master in informatica), Ken Keeler (PhD in toegepaste wiskunde) en Jeff Westbrook (PhD in informatica), allen wiskundegeeks die het niet kunnen laten de Simpsons vol te proppen met al dan niet verborgen wiskundige concepten, grappen en puzzels. Elke maand lichten we in deze column zo’n wiskundig onderwerp nader toe vanuit de Simpsons.

Het enigma van Fermat

Een van de beroemdste anekdotes in de wiskunde is het verhaal achter de laatste stelling van Fermat, die Pierre de Fermat neerkrabbelde in een kantlijn van een boek. De stelling beweert dat geen enkele nde-macht gelijk is aan een som van twee andere nde-machten van natuurlijke getallen als n minstens drie is; in formulevorm:

 

Wanneer n=2 zijn er wel oplossingen van de vergelijking van Fermat te vinden. De vergelijking herleidt zich dan tot de identiteit van Pythagoras, die bijvoorbeeld opgelost wordt door x=3, y=4 en z=5 (er zijn zelfs oneindig veel gehele oplossingen). Fermat schreef slechts als commentaar bij zijn stelling dat hij “een waarlijk schitterend bewijs gevonden heeft voor dit resultaat, waarvoor de marge echter te klein is om deze te bevatten“.

Een moeizame geschiedenis 

Sindsdien hebben allerlei wiskundigen eeuwenlang getracht Fermats bewijs terug te vinden of een eigen bewijs te geven. Slechts voor bepaalde n-waarden werd enige vordering gemaakt: het geval n=4 werd door Fermat zelf expliciet opgelost, n=3 door Euler, n=5 door Legendre en Dirichlet, n=7 door Lamé. Een uitgebreid overzicht is terug te vinden op Wikipedia.

Pas in 1994 werd de volledige stelling bewezen, op een manier die Fermat zelf nooit had kunnen voorzien. Andrew Wiles had een gedeeltelijke oplossing gevonden voor het vermoeden van Taniyama-Shimura-Weil, die een sterk verband legt tussen zogenaamde modulaire vormen en elliptische krommen. Eerder had Gerhard Frey al geobserveerd dat indien de vergelijking van Fermat een oplossing heeft (voor n>2), daaruit een bizarre elliptische kromme zou kunnen worden gedefinieerd die niet correspondeert met eender welke modulaire vorm. De prestatie van Wiles was voldoende om indirect de laatste stelling van Fermat te bewijzen. Het bewijs was meer dan 150 pagina’s lang, gebruikte zeer vernieuwende inzichten en kostte zeven jaar van Wiles’ researchtijd.

Fermat in The Simpsons

Omwille van de cultstatus ervan is het geen verrassing dat verwijzingen naar de laatste stelling van Fermat ook hier en daar opduiken in The Simpsons. In Treehouse of Horror VI (seizoen 7, aflevering 6) bijvoorbeeld belandt Homer in een driedimensionale wereld, waar naast 3D-objecten ook enkele formules rondvliegen. Eén daarvan is de volgende:

 

De wiskundeliefhebber ruikt meteen onraad en grijpt naar zijn rekenmachine, die echter te kennen geeft dat de vergelijking klopt! De puzzel van Fermat is gekraakt; hoe kan een formule uit The Simpsons een van de grootste enigma’s uit de wiskundige geschiedenis tenietdoen?

Wie echter wat verder nadenkt, of een gesofisticeerdere rekenmachine heeft, zal zien dat de vergelijking niet klopt. Een eenvoudig pariteitsargument ontkracht de vergelijking: het linkerlid is oneven (als som van een even en oneven term), het rechterlid niet. De relatieve fout (t.o.v. van de rechterterm) is echter slechts zo’n 0.0000000276%, zo klein dat standaard rekenmachines de fout afronden. Er werd een speciaal computerprogramma geschreven dat getallen afschuimt op zoek naar een uitgebalanceerde bijna-voltreffer, in de hoop dat voldoende kijkers de vergelijking zouden testen op hun rekenmachines en verbaasd zouden zien dat ze “klopt”.

Verderop in de serie, in The Wizard of Evergreen Terrace (seizoen 10, aflevering 2) schrijft Homer een vergelijkbare vergelijking op een schoolbord:

Helaas voor Homer is deze eveneens fout, ook al is de relatieve fout nog kleiner. Kun je zelf inzien waarom? Het pariteitsargument van daarnet helpt hier niet, maar veelvouden van drie in beschouwing nemen wel.

 

Deel dit artikel

Reageer op dit artikel
(bekijk de commentaren)