#WiskundePlantyn

Verleidelijke getallen - 2e & 3e graad aso/tso

Een natuurlijk getal n heet ‘verleidelijk’ als het product van alle postieve delers van het getal gelijk is aan n². Hoeveel verleidelijke getallen kleiner dan 100 zijn er?
Oplossing

  •  1 heeft één deler en is gelijk aan 1², dus 1 is een verleidelijk getal.
  •  Priemgetallen kunnen nooit verleidelijk zijn. Stel immers p priem, dan zijn 1 en p de enige positieve delers van p en hun product is gelijk aan p en niet aan p².
  •  Stel dat n het product is van twee verschillende priemgetallen: n = p . q. Dan zijn de positieve delers van n de getallen 1, p, q en n. Hun product is gelijk aan 1 . p . q . n = n². Alle getallen die het product zijn van twee verschillende priemgetallen zijn dus verleidelijk. Dat zijn 6, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 33, 34, 35, 38, 39, 46, 51, 55, 57, 58, 62, 65, 69, 74, 77, 82, 85, 86, 87, 91, 93, 94 en 95.
  •  Als er drie verschillende priemfactoren zijn, dan is n = p . q . r en het product van de positieve delers is 1 . p . q . r . pq . pr . qr . n = n4.
  •  Verleidelijk zijn ook de derde machten van een priemgetal. Stel n = p³. Het product van de positieve delers is 1 . p . p² . p³ = n², dus ook 8 en 27 zijn verleidelijk.
  •  Als in de priemontbinding van n een priemgetal meer dan één keer voorkomt en er is ook nog minstens één andere priemdeler, dan kan het getal nooit verleidelijk zijn. Want stel n = p²q, dan heb je als positieve delers 1, p, p², pq en p²q. Hun product is duidelijk niet gelijk aan n².
  •  In het totaal heb je dan 33 verleidelijke getallen kleiner dan 100.
     
Deel dit artikel

Reageer op dit artikel
(bekijk de commentaren)