#WiskundePlantyn

Breuken 2e & 3e graad aso/tso

Toon aan dat wanneer de som van twee onvereenvoudigbare breuken gelijk is aan 1, die twee breuken dezelfde noemer moeten hebben.

Oplossing

  1. Veronderstel dat ab en cd twee onvereenvoudigbare breuken zijn en dat ab + cd = 1.
  2. Door beide leden van deze gelijkheid te vermenigvuldigen met bd, vinden we dat
    ad + bc = bd.
  3. We herschrijven deze gelijkheid als volgt: ad = bd – bc of ad = b(d - c).
  4. Omdat b een deler is van het rechterlid, moet b uiteraard ook het linkerlid ad delen. Maar omdat ab onvereenvoudigbaar is , kan b geen deler zijn van a. Bijgevolg is b een deler van d.
  5. We kunnen de gelijkheid onder punt 2 echter ook herschrijven als bc = bd – ad of bc = d(b - a).
  6. Omdat d een deler is van het rechterlid, moet d uiteraard ook het linkerlid bc delen. Maar omdat cd onvereenvoudigbaar is, kan d geen deler zijn van c. Bijgevolg is d een deler van b.
  7. Uit punt 4 en 6 volgt dan automatisch dat b = d. Dus de twee breuken hebben dezelfde noemer.
Deel dit artikel

Reageer op dit artikel
(bekijk de commentaren)