#WiskundePlantyn

Wel of niet deelbaar door 5? - 3e graad aso/tso

Veronderstel dat a, b en c gehele getallen zijn die niet deelbaar zijn door 5. Bewijs dan dat minstens één van de getallen a² - b², b² - c² en c² - a² wél deelbaar is door 5.

Oplossing

  • Laten  we eerst eens proberen: a = 7, b = 4  en c = 11.
  • Dan is a² - b² = 33, b² - c² = -105 en dat is inderdaad een vijfvoud.
  • Als een getal x geen vijfvoud is , dan kunnen we x schrijven als 5v + 1, 5v + 2, 5v + 3 of 5v + 4.
  • Als x = 5v + 1, dan is x² = 25v² + 10v + 1 = 5(5v²+2) +1 = 5l + 1
  • Als x = 5v + 2, dan is x² = 25v² + 20v + 4 = 5(5v²+4v+1) – 1 = 5l – 1
  • Als x = 5v + 3, dan is x² = 25v² + 30v + 9 = 5(5v²+6v+2) – 1 = 5l – 1
  • Als x = 5v + 4, dan is x² = 25v² + 40v + 16 = 5(5v²+8v+3) + 1 = 5l + 1
  • Met andere woorden de getallen a², b² en c² zijn allen vijfvouden plus of min 1.
  • Door gebruik te maken van het duivenhokprincipe moeten dus minstens twee van de getallen a², b² of c² dezelfde rest hebben bij deling door 5 ( twee hokken : de vijfvouden +1 en de vijfvouden -1, en drie duiven : de getallen a², b² en c²)
  • Stel dat a² en b² bijvoorbeeld allebei vijfvouden plus 1 zijn, dan is a² - b² = ( 5l+1 ) – ( 5k+1 ) = 5( l – k ) en dus is a² - b² een vijfvoud.
  • De andere gevallen zijn analoog. Met andere woorden er is minstens één van de getallen a² - b², b² - c² en c² - a² wél deelbaar  door 5.
     
Deel dit artikel

Reageer op dit artikel
(bekijk de commentaren)