#WiskundePlantyn

Tien opeenvolgende natuurlijke getallen - 2e & 3e graad aso/tso

Toon aan dat elke verzameling van tien opeenvolgende natuurlijke getallen een getal bevat dat onderling ondeelbaar is met de negen andere getallen.
Oplossing

  • Probeer eerst dit eens: neem de getallen 13 tot en met 22. Het getal 17 is onderling ondeelbaar met de negen andere getallen. Ook het getal 19 voldoet, en ook 13.
  • Noteer de getallen met a1, a2 ... a10.
  • Stel dat ai en aj niet onderling ondeelbaar zouden zijn. Dan zou er een getal d ≠ 1 bestaan dat beide getallen deelt en dus ook hun verschil. Het verschil van twee getallen uit een rij van tien opeenvolgende getallen is uiteraard kleiner dan 10. Bijgevolg moet d gelijk zijn aan 2, 3, 5 of 7.
  • Zoek dus een getal dat niet deelbaar is door 2, 3, 5 of 7.
  • Noem a het getal uit de gegeven verzameling dat eindigt op een 1, b het getal dat eindigt op een 3, c het getal dat eindigt op een 7 en d het getal dat eindigt op een 9.
  • Geen van de vier getallen a, b, c of d is deelbaar door 2 of 5.
  • Hoogstens twee getallen ervan zijn deelbaar door 3.
  • Hoogstens één getal is deelbaar door 7.
  • Neem het overblijvende getal (of een van de overblijvende getallen, als er meerdere zijn). Dat getal is niet deelbaar door 2, 3, 5 of 7 en is dus het gevraagde getal.
  • Een voorbeeldje ter controle: neem de getallen 36, 37 … 45. Neem daaruit 41, 43, 37 en 39. Er is één getal dat deelbaar is door 3, namelijk 39, en er is geen getal deelbaar door 7. Dan blijven er drie getallen over: 41, 43 en 37. Die zijn alle drie onderling ondeelbaar met de negen andere getallen.
     
Deel dit artikel

Reageer op dit artikel
(bekijk de commentaren)