#WiskundePlantyn

2 016 punten op een cirkel - 2e graad aso/tso

Gegeven zijn 2 016 punten op een cirkel. Met elk punt is een getal geassocieerd zodat elk punt het gemiddelde is van zijn twee buren. Toon aan dat alle 2 016 getallen gelijk moeten zijn.

Oplossing

  • We gaan een bewijs uit het ongerijmde geven.
  • Stel dus dat niet alle getallen gelijk zijn, dan is er een kleinste getal, bijvoorbeeld a.
  • Noem de twee buren van a dan b en c.
  • Minstens één van die buren is strikt groter dan a. Want als a = b = c, dan heeft de andere buur van b, een getal d zodat b het gemiddelde is van a en d. Daaruit volgt dat ook d = a. En door herhaling volgt dat alle 2 016 getallen dan gelijk zijn, wat tegen de veronderstelling is.
  • Veronderstel dus dat b > a en c ≥ a. Dan is a, dat het gemiddelde is van b en c, groter dan zichzelf, wat natuurlijk niet kan.
  • Bijgevolg zijn alle getallen gelijk.

 

 

Deel dit artikel

Reageer op dit artikel
(bekijk de commentaren)